دیوید هیلبرت، ریاضیدان افسانه‌ای، ۱۰ مسأله حل‌نشده را بهعنوان راهنمایی جاه‌طلبانه برای قرن بیستم ارائه کرد. او بعدها فهرست خود را به ۲۳مسأله گسترش داد که تاثیر آنها بر تفکر ریاضی در ۱۲۵سال گذشته غیرقابل انکار است. ششمین مسأله هیلبرت یکی از عالی‌ترین مسائل بود. او در این مسأله خواستار «بدیهی‌سازی» فیزیک شد؛ یعنی یافتن حداقل مفروضات ریاضی که پایه نظریه‌های فیزیکی را تشکیل می‌دهند. اگرچه هدف کلی بدیهی‌سازی کل فیزیک همچنان دشوار است، اما هیلبرت زیرهدف‌های خاصی را مشخص کرد؛ ازجمله یکپارچه‌سازی نظریه‌های دینامیک سیالات در مقیاس‌های مختلف. به‌طورکلی، مشخص نیست که فیزیکدانان ریاضی هرگز بتوانند بفهمند که آیا این چالش را حل کرده‌اند یا خیر. بااین‌حال، از آن زمان محققان دیدگاه او را به گام‌های مشخصی برای حل مسأله ششم تبدیل کردند. در پیشرفتی شگفت‌انگیز در ماه مارس سال‌جاری، ریاضیدانان یو دنگ از دانشگاه شیکاگو به همراه زاهر هانی و شیائو ما از دانشگاه میشیگان مقاله جدیدی را به سرور پیش‌چاپ arXiv.org ارسال کردند که ادعا می‌کند یکی از این اهداف را شکست داده است. اگر مقاله آنها در برابر موشکافی تاییدکنندگان دوام بیاورد، یک گام بزرگ به سمت پایه‌گذاری فیزیک در ریاضیات خواهد بود و ممکن است دری را برای پیشرفت‌های مشابه در سایر زمینه‌های فیزیک باز کند.
یکپارچه‌سازی سه نظریه فیزیک
در این مقاله، محققان پیشنهاد می‌کنند که چگونه سه نظریه فیزیکی را که حرکت سیالات را توضیح می‌دهند، متحد کنند. این تئوری‌ها طیف وسیعی از کاربردهای مهندسی، از طراحی هواپیما گرفته تا پیش‌بینی آب‌وهوا را کنترل می‌کنند؛ اما این تئوری‌ها تاکنون بر فرضیاتی استوار بود که بهطور دقیق اثبات نشده بودند. این پیشرفت، خود نظریه‌ها را تغییر نمی‌دهد؛ اما از نظر ریاضی آنها را توجیه و اعتماد جهان را تقویت می‌کند؛ مبنی بر این‌که معادلات به روشی که ما فکر می‌کنیم، کار می‌کنند. مسأله ششم هیلبرت به‌دنبال آن است که نظریه‌های فیزیکی از اصول اولیه مشتق شوند، به‌‌طوری‌‌که هر سطح از توصیف بهطور منطقی از سطح پایین‌تر منتج شود. در دینامیک سیالات، این شامل اتصال نظریه‌ها در سه مقیاس است: میکروسکوپیک، مزوسکوپیک و ماکروسکوپیک. در سطح میکروسکوپیک، سیالات بهعنوان ذراتی مدل‌سازی می‌شوند که تحت قوانین حرکت نیوتن رفتار می‌کنند، مانند توپ‌های بیلیارد که به هم برخورد می‌کنند. در سطح مزوسکوپیک، معادله بولتزمان که در سال ۱۸۷۲ توسط لودویگ بولتزمان توسعه یافت، رفتار آماری تعداد زیادی ذره را توصیف می‌کند و به‌جای مسیرهای فردی، به روندهایی مانند تکانه و هدایت گرمایی توجه دارد. در سطح ماکروسکوپیک، معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس سیالات را بهعنوان ماده‌ای پیوسته توصیف می‌کنند و جریان آنها را بدون ارجاع به ذرات توضیح می‌دهند. این نظریه‌ها همگی به یک پدیده یعنی حرکت سیالات مربوط هستند؛ اما در وضوح‌های متفاوتی عمل می‌کنند. هیلبرت با اشاره صریح به کارهای بولتزمان، خواستار اثبات این بود که معادلات ماکروسکوپیک از معادلات مزوسکوپیک و هردو نیز از قوانین میکروسکوپیک نیوتن منتج شوند تا یک چارچوب ریاضی یکپارچه ایجاد گردد.
غلبه بر چالش‌های موجود
یکپارچه‌سازی این سه دیدگاه به‌دلیل پیچیدگی‌های ریاضی پیوند مقیاس‌ها، دهه‌ها چالش‌برانگیز بوده است. تلاش‌های قبلی پیشرفت‌هایی داشتند، اما با محدودیت‌هایی مانند کاربرد صرف در بازه‌های زمانی کوتاه یا شرایط ساده شده مانند خلأ مواجه بودند. کار پژوهشی دنگ، هانی و ما این محدودیت‌ها را برطرف کرده و استنتاج جامعی ارائه می‌دهد که در بازه‌های زمانی طولانی و شرایط عمومی معتبر است. اثبات آنها از سه مرحله اصلی تشکیل شده است: استنتاج معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس (ماکروسکوپیک) از معادله بولتزمان (مزوسکوپیک)، استنتاج معادله بولتزمان از قوانین نیوتن (میکروسکوپیک) و ترکیب اینها برای ارتباط مستقیم ماکروسکوپیک به میکروسکوپیک.
مرحله اول یعنی پیوند ماکروسکوپیک به مزوسکوپیک تا حدی شناخته‌‌شده بود و خود هیلبرت نیز در آن مشارکت داشت. اما مرحله دوم، استنتاج معادله بولتزمان از قوانین نیوتن، چالش بزرگ‌تری بود. در سطح مزوسکوپیک، رفتار جمعی تعداد بی‌شماری ذره باید مدل‌سازی شود، درحالی‌که تعداد آنها به بی‌نهایت میل می‌کند و اندازه‌شان به صفر می‌رسد. این محققان نشان دادند که در این حد، رفتار آماری یک ذره «معمولی» که تحت قوانین نیوتن است، به راه‌حل معادله بولتزمان همگرا می‌شود. این کار نیازمند حل مسأله کلیدی بازه زمانی بود. استنتاج‌های قبلی تنها برای دوره‌های کوتاه معتبر بودند، که برای سیالات واقعی که می‌توانند بهطور نامحدود جریان یابند، کافی نیست. بازه‌های زمانی طولانی‌تر پیچیدگی بیشتری دارند، زیرا تاریخچه برخوردهای یک ذره ممکن است بر رفتار کنونی آن اثر بگذارد. این سه ریاضیدان با تحلیل دقیق اثرات تجمعی برخوردها و استفاده از تکنیک‌های ریاضی نوین، نشان دادند که این اثرات در طول زمان ناچیز باقی می‌مانند.
با ترکیب این پیشرفت در پیوند مزوسکوپیک ــ میکروسکوپیک با نتایج موجود در ارتباط ماکروسکوپیک ــ مزوسکوپیک، این تیم سه نظریه دینامیک سیالات را یکپارچه کرد. اثبات آنها نشان می‌دهد که معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس می‌توانند بهطور دقیق از قوانین نیوتن از طریق معادله بولتزمان استنتاج شوند و بخشی کلیدی از مسأله ششم هیلبرت را محقق می‌کنند. این کار معادلات را تغییر نمی‌دهد، بلکه توجیه ریاضی برای استفاده از آنها را فراهم و اطمینان ما را به دقت آنها در کاربردهای مختلفی چون طراحی هواپیما و پیش‌بینی آب‌وهوا تقویت می‌کند.
اهمیت موضوع
اهمیت این دستاورد در تایید این است که سه دیدگاه دینامیک سیالات (میکروسکوپیک، مزوسکوپیک و ماکروسکوپیک) به توصیفی واحد از طریق علم ریاضیات می‌رسند و سازگار باواقعیت، همگرامی‌شوند.این امر پایه دینامیک سیالات را تقویت کرده و با خواست هیلبرت برای بدیهی‌سازی همخوانی دارد؛ جایی که نظریه‌های سطح بالاتر بهطور منطقی از نظریه‌های سطح پایین‌تر منتج می‌شوند. اگر این اثبات بررسی‌های همتایان را با موفقیت پشت سر بگذارد، نقطه عطفی در فیزیک ریاضی خواهدبود وممکن است الهام‌بخش پیشرفت‌های مشابه درزمینه‌هایی مانند مکانیک کوانتومی یا الکترومغناطیس شود.
علاوه‌بر‌این، چنین پیشرفتی قدرت تکنیک‌های ریاضی مدرن را در حل مسائل دیرپا نشان می‌دهد. با رفع مانع بازه زمانی، این ریاضیدانان محدودیتی عمده را از استنتاج‌های قبلی حذف کردند و چارچوبی قوی ارائه دادند که بهطور گسترده کاربرد دارد. کار آنها اهمیت مسائل هیلبرت را بهعنوان محرک‌های پیشرفت، حتی پس از ۱۲۵ سال برجسته می‌کند. درحالی‌که هدف کامل بدیهی‌سازی فیزیک همچنان باز است، این پیشرفت نشان می‌دهد که با رویکردهای نوآورانه، چالش‌های دیگر مسائل هیلبرت نیز ممکن است حل شوند و شکاف بین فیزیک و ریاضیات را بیشتر پر کنند.
یکپارچه‌سازی سه نظریه فیزیک
در این مقاله، محققان پیشنهاد می‌کنند که چگونه سه نظریه فیزیکی را که حرکت سیالات را توضیح می‌دهند، متحد کنند. این تئوری‌ها طیف وسیعی از کاربردهای مهندسی، از طراحی هواپیما گرفته تا پیش‌بینی آب‌وهوا را کنترل می‌کنند؛ اما این تئوری‌ها تاکنون بر فرضیاتی استوار بود که بهطور دقیق اثبات نشده بودند. این پیشرفت، خود نظریه‌ها را تغییر نمی‌دهد؛ اما از نظر ریاضی آنها را توجیه و اعتماد جهان را تقویت می‌کند؛ مبنی بر این‌که معادلات به روشی که ما فکر می‌کنیم، کار می‌کنند. مسأله ششم هیلبرت به‌دنبال آن است که نظریه‌های فیزیکی از اصول اولیه مشتق شوند، به‌‌طوری‌‌که هر سطح از توصیف بهطور منطقی از سطح پایین‌تر منتج شود. در دینامیک سیالات، این شامل اتصال نظریه‌ها در سه مقیاس است: میکروسکوپیک، مزوسکوپیک و ماکروسکوپیک. در سطح میکروسکوپیک، سیالات بهعنوان ذراتی مدل‌سازی می‌شوند که تحت قوانین حرکت نیوتن رفتار می‌کنند، مانند توپ‌های بیلیارد که به هم برخورد می‌کنند. در سطح مزوسکوپیک، معادله بولتزمان که در سال ۱۸۷۲ توسط لودویگ بولتزمان توسعه یافت، رفتار آماری تعداد زیادی ذره را توصیف می‌کند و به‌جای مسیرهای فردی، به روندهایی مانند تکانه و هدایت گرمایی توجه دارد. در سطح ماکروسکوپیک، معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس سیالات را بهعنوان ماده‌ای پیوسته توصیف می‌کنند و جریان آنها را بدون ارجاع به ذرات توضیح می‌دهند. این نظریه‌ها همگی به یک پدیده یعنی حرکت سیالات مربوط هستند؛ اما در وضوح‌های متفاوتی عمل می‌کنند. هیلبرت با اشاره صریح به کارهای بولتزمان، خواستار اثبات این بود که معادلات ماکروسکوپیک از معادلات مزوسکوپیک و هردو نیز از قوانین میکروسکوپیک نیوتن منتج شوند تا یک چارچوب ریاضی یکپارچه ایجاد گردد.
غلبه بر چالش‌های موجود
یکپارچه‌سازی این سه دیدگاه به‌دلیل پیچیدگی‌های ریاضی پیوند مقیاس‌ها، دهه‌ها چالش‌برانگیز بوده است. تلاش‌های قبلی پیشرفت‌هایی داشتند، اما با محدودیت‌هایی مانند کاربرد صرف در بازه‌های زمانی کوتاه یا شرایط ساده شده مانند خلأ مواجه بودند. کار پژوهشی دنگ، هانی و ما این محدودیت‌ها را برطرف کرده و استنتاج جامعی ارائه می‌دهد که در بازه‌های زمانی طولانی و شرایط عمومی معتبر است. اثبات آنها از سه مرحله اصلی تشکیل شده است: استنتاج معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس (ماکروسکوپیک) از معادله بولتزمان (مزوسکوپیک)، استنتاج معادله بولتزمان از قوانین نیوتن (میکروسکوپیک) و ترکیب اینها برای ارتباط مستقیم ماکروسکوپیک به میکروسکوپیک.
مرحله اول یعنی پیوند ماکروسکوپیک به مزوسکوپیک تا حدی شناخته‌‌شده بود و خود هیلبرت نیز در آن مشارکت داشت. اما مرحله دوم، استنتاج معادله بولتزمان از قوانین نیوتن، چالش بزرگ‌تری بود. در سطح مزوسکوپیک، رفتار جمعی تعداد بی‌شماری ذره باید مدل‌سازی شود، درحالی‌که تعداد آنها به بی‌نهایت میل می‌کند و اندازه‌شان به صفر می‌رسد. این محققان نشان دادند که در این حد، رفتار آماری یک ذره «معمولی» که تحت قوانین نیوتن است، به راه‌حل معادله بولتزمان همگرا می‌شود. این کار نیازمند حل مسأله کلیدی بازه زمانی بود. استنتاج‌های قبلی تنها برای دوره‌های کوتاه معتبر بودند، که برای سیالات واقعی که می‌توانند بهطور نامحدود جریان یابند، کافی نیست. بازه‌های زمانی طولانی‌تر پیچیدگی بیشتری دارند، زیرا تاریخچه برخوردهای یک ذره ممکن است بر رفتار کنونی آن اثر بگذارد. این سه ریاضیدان با تحلیل دقیق اثرات تجمعی برخوردها و استفاده از تکنیک‌های ریاضی نوین، نشان دادند که این اثرات در طول زمان ناچیز باقی می‌مانند.
با ترکیب این پیشرفت در پیوند مزوسکوپیک ــ میکروسکوپیک با نتایج موجود در ارتباط ماکروسکوپیک ــ مزوسکوپیک، این تیم سه نظریه دینامیک سیالات را یکپارچه کرد. اثبات آنها نشان می‌دهد که معادلات اویلر و ناویر ــ استوکس می‌توانند بهطور دقیق از قوانین نیوتن از طریق معادله بولتزمان استنتاج شوند و بخشی کلیدی از مسأله ششم هیلبرت را محقق می‌کنند. این کار معادلات را تغییر نمی‌دهد، بلکه توجیه ریاضی برای استفاده از آنها را فراهم و اطمینان ما را به دقت آنها در کاربردهای مختلفی چون طراحی هواپیما و پیش‌بینی آب‌وهوا تقویت می‌کند.
اهمیت موضوع
اهمیت این دستاورد در تایید این است که سه دیدگاه دینامیک سیالات (میکروسکوپیک، مزوسکوپیک و ماکروسکوپیک) به توصیفی واحد از طریق علم ریاضیات می‌رسند و سازگار باواقعیت، همگرامی‌شوند.این امر پایه دینامیک سیالات را تقویت کرده و با خواست هیلبرت برای بدیهی‌سازی همخوانی دارد؛ جایی که نظریه‌های سطح بالاتر بهطور منطقی از نظریه‌های سطح پایین‌تر منتج می‌شوند. اگر این اثبات بررسی‌های همتایان را با موفقیت پشت سر بگذارد، نقطه عطفی در فیزیک ریاضی خواهدبود وممکن است الهام‌بخش پیشرفت‌های مشابه درزمینه‌هایی مانند مکانیک کوانتومی یا الکترومغناطیس شود.
علاوه‌بر‌این، چنین پیشرفتی قدرت تکنیک‌های ریاضی مدرن را در حل مسائل دیرپا نشان می‌دهد. با رفع مانع بازه زمانی، این ریاضیدانان محدودیتی عمده را از استنتاج‌های قبلی حذف کردند و چارچوبی قوی ارائه دادند که بهطور گسترده کاربرد دارد. کار آنها اهمیت مسائل هیلبرت را بهعنوان محرک‌های پیشرفت، حتی پس از ۱۲۵ سال برجسته می‌کند. درحالی‌که هدف کامل بدیهی‌سازی فیزیک همچنان باز است، این پیشرفت نشان می‌دهد که با رویکردهای نوآورانه، چالش‌های دیگر مسائل هیلبرت نیز ممکن است حل شوند و شکاف بین فیزیک و ریاضیات را بیشتر پر کنند.
مسأله ششم هیلبرت
در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت (۱۸۶۲ ــ ۱۹۴۳م) دومین کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در پاریس، در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمن ویل (Herman Weyl) درباره آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند، به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می‌شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسائل اساسی در نظریه پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید، مشهور شد. مسائل هیلبرت شامل ۲۳ سؤال ریاضی است که هیچ‌کدام در آن زمان حل نشده بودند و بعضی از آنها هنوز هم حل نشده‌اند. این مسائل تاثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند. مسائل ششم و چهارم نه‌تنها هنوز حل نشده‌اند، بلکه با توجه به استانداردهای جدید، غیر قابل‌حل اعلام شدند. مسأله ششم، با عنوان «ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک» ساختاری اصول‌مند برای فیزیک می‌خواست، که با توجه به پیشرفت‌های قرن بیستم و این‌که فیزیک بهعنوان شاخه‌ای مستقل از ریاضی شناخته شد؛ به نظر می‌رسید در حوزه ریاضیات دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. هیلبرت در طول سالیان متوالی، بسیاری از تحقیقاتش را به مسأله ششم اختصاص داد و به همراه امی نوتر بهطور گسترده با آلبرت انیشتین در مورد فرمول‌بندی این نظریه مکاتبه کرد.
source